Составление канонического уравнения эллипса
Эллипс – это геометрическая фигура, определяемая как множество точек, для которых сумма расстояний до двух фокусов фиксирована. Для составления канонического уравнения эллипса с заданными директрисами и фокусом, мы должны знать некоторые основные свойства эллипса.
Основные свойства эллипса
- Фокусы: эллипс имеет два фокуса – точки, расположенные по обе стороны от центра эллипса по его главной оси.
- Директрисы: эллипс имеет две директрисы – вертикальные линии, которые пересекаются с главной осью эллипса.
- Большая и малая полуоси: большая полуось (a) – это расстояние от центра эллипса до наиболее удаленной точки на эллипсе, а малая полуось (b) – это расстояние от центра эллипса до перпендикуляра, опущенного на директрису.
Каноническое уравнение эллипса
Каноническое уравнение эллипса имеет следующий вид:
((x - h)^2 / a^2) + ((y - k)^2 / b^2) = 1
где (h, k) - координаты центра эллипса.
Решение
Мы знаем, что фокус эллипса F находится в точке (0,3), а директрисы эллипса находятся на линиях x = -2 и x = 4.
Определение центра эллипса
Центр эллипса C находится на середине отрезка, соединяющего два фокуса эллипса. Таким образом, координата x_центра равна среднему значению координат фокусов, а координата y_центра остается неизменной.
x_центра = (x_фокус1 + x_фокус2)/2 = (0 + 0)/2 = 0
y_центра = 3
Таким образом, центр эллипса C находится в точке (0,3).
Определение полуосей эллипса
Большая полуось а эллипса равна расстоянию от центра эллипса C до директрисы. Малая полуось b эллипса равна расстоянию от центра эллипса C до фокуса F.
a = |x_d1 - x_центра| = |-2 - 0| = 2
b = |y_фокус - y_центра| = |3 - 3| = 0
Большая полуось a равна 2, а малая полуось b равна 0.
Каноническое уравнение эллипса
Подставляя значения в каноническое уравнение эллипса, получаем:
((x - 0)^2 / 2^2) + ((y - 3)^2 / 0^2) = 1
(x^2 / 4) + ((y - 3)^2 / 0) = 1
Учитывая, что (y - 3)^2 / 0 всегда равно 0, так как малая полуось равна 0, упрощаем уравнение:
(x^2 / 4) = 1
Итак, каноническое уравнение эллипса с заданными директрисами x = -2 и x = 4, и фокусом в точке F(0;3) имеет вид:
(x^2 / 4) = 1.
Таким образом, данное уравнение описывает эллипс с центром в точке (0,3), большой полуосью a = 2 и малой полуосью b = 0.