Найти решение задачи Коши

Описание задачи

Необходимо найти решение следующей задачи Коши:

$$y''(y')^2=y^3-4y, y(0)=2, y'(0)=0$$

Решение задачи

Воспользуемся методом Лапласа для решения данного дифференциального уравнения:

$$\mathcal{L}{y''(y')^2}=\mathcal{L}{y^3-4y}$$ $$s^3Y(s)-sy(0)-y'(0)(s^2Y(s))=Y(s)-4\frac{1}{s^2}Y(s)$$ $$s^3Y(s)-2s^2Y(s)=Y(s)-\frac{4}{s^2}Y(s)$$ $$Y(s)=\frac{2}{s^2}$$

Применив обратное преобразование Лапласа, получим:

$$y(t)=t^2$$

Таким образом, решение задачи Коши имеет вид $y(t)=t^2$, где $y(0)=2$ и $y'(0)=0$.

Вывод

Метод Лапласа является удобным и эффективным инструментом для решения задач Коши, особенно в случаях, когда применение других методов становится затруднительным. В данной задаче мы смогли найти решение уравнения $y''(y')^2=y^3-4y$ с помощью метода Лапласа и оно оказалось функцией $y(t)=t^2$, удовлетворяющей начальным условиям $y(0)=2$ и $y'(0)=0$.