iRobot СПб

Математика! Помощь в нахождении площади фигуры с использованием определённого интеграла

Одной из важных задач в математике является нахождение площади под кривыми или графиками различных функций. Для этого мы можем использовать интегралы. В этой статье мы будем рассматривать способ нахождения площади фигуры, ограниченной несколькими кривыми.

Для начала, рассмотрим наши кривые. У нас есть следующие уравнения:

  1. y = 3x + 1
  2. y = 9 - x
  3. y = x - 1

Теперь мы хотим найти площадь фигуры, ограниченной этими кривыми на интервале x от 0 до 4.

Для этого мы должны сначала найти точки пересечения кривых между собой.

  1. Пересечение кривой 1 и 2. 3x + 1 = 9 - x 4x = 8 x = 2 Подставляем в первую или вторую функцию: y = 3*2 + 1 = 7 Поэтому точка пересечения для кривых 1 и 2: (2, 7)

  2. Пересечение кривой 1 и 3. 3x + 1 = x - 1 2x = -2 x = -1 Подставляем в первую или третью функцию: y = 3*(-1) + 1 = -2 Поэтому точка пересечения для кривых 1 и 3: (-1, -2)

  3. Пересечение кривой 2 и 3. 9 - x = x - 1 2x = 10 x = 5 Подставляем во вторую или третью функцию: y = 9 - 5 = 4 Поэтому точка пересечения для кривых 2 и 3: (5, 4)

Теперь мы можем найти площади фигур, ограниченных этими кривыми на заданном интервале x.

По определению, площадь под кривой на интервале от a до b можно найти с помощью определённого интеграла следующим образом:

S = ∫[a,b] f(x) dx

Где f(x) - это уравнение кривой.

Поэтому наша площадь будет равна:

S = ∫[0,2] (3x + 1) dx + ∫[2,5] (9 - x) dx + ∫[5,4] (x - 1) dx

Вычисляя эти интегралы, получим:

S = [(3/2)x^2 + x] от 0 до 2 + [9x - (1/2)x^2] от 2 до 5 + [(1/2)x^2 - x] от 5 до 4

S = [(3/2)(2)^2 + 2] - [(3/2)(0)^2 + 0] + [9(5) - (1/2)(5)^2] - [9(2) - (1/2)(2)^2] + [(1/2)(4)^2 - 4] - [(1/2)(5)^2 - 5]

S = 15 - 0 + 23.5 - 16 + 4 - 13.5

S = 13

Итак, площадь фигуры, ограниченной кривыми y = 3x + 1, y = 9 - x и y = x - 1 на интервале x от 0 до 4, равна 13.

Используя определённый интеграл, мы смогли точно вычислить площадь этой фигуры. Этот метод может быть использован для нахождения площади фигур, ограниченных другими кривыми или функциями.