Льдинка плавает на границе между водой и керосином. Какая часть ее объема находится ниже границы раздела жидкостей, если...

Дана льдинка, которая плавает на границе между водой и керосином. Необходимо определить, какая часть ее объема находится ниже границы раздела жидкостей при определенных условиях.

Условия

Объем льдинки равен $V_{i}$.
Плотность воды равна $ρ_{w}$.
Плотность керосина равна $ρ_{k}$.
Высота льдинки над границей раздела жидкостей равна $h$.

Решение

Для решения задачи необходимо вычислить объем части льдинки, находящейся ниже границы раздела жидкостей. Для этого используем закон Архимеда:

$$ F = ρ_{ж} g V_{об} $$

где $F$ - сила, с которой жидкость действует на тело, $ρ_{ж}$ - плотность жидкости, $g$ - ускорение свободного падения, $V_{об}$ - объем тела.

В данном случае телом является льдинка, а жидкостью - смесь воды и керосина. Обозначим плотность этой смеси через $ρ_{см}$.

Так как льдинка находится на границе раздела жидкостей, сила, действующая на нее, должна быть равна нулю.

$$ F = 0 = (ρ_{w} g V_{w}) - (ρ_{k} g V_{k}) $$

где $V_{w}$ - объем воды, $V_{k}$ - объем керосина.

Выразим объем керосина:

$$ V_{k} = \frac{ρ_{w}}{ρ_{k}} V_{w} $$

Обозначим через $x$ долю объема льдинки, находящейся ниже границы раздела жидкостей.

Тогда объем воды можно выразить следующим образом:

$$ V_{w} = V_{i}(1-x) $$

А объем керосина будет равен:

$$ V_{k} = V_{i}x = \frac{ρ_{w}}{ρ_{k}} V_{w} = \frac{ρ_{w}}{ρ_{k}}V_{i}(1-x) $$

Подставим выражения для объемов в уравнение:

$$ 0 = (ρ_{w} g V_{i}(1-x)) - (ρ_{k} g \frac{ρ_{w}}{ρ_{k}}V_{i}(1-x)) $$

Упростим выражение:

$$ x = \frac{ρ_{w}-ρ_{см}}{ρ_{w}-ρ_{k}} $$

Таким образом, доля объема льдинки, находящейся ниже границы раздела жидкостей, равна отношению разности плотностей смеси и воды к разности плотностей воды и керосина.

Вывод

Полученная формула позволяет определять долю объема льдинки, находящейся ниже границы раздела жидкостей, в зависимости от плотностей воды и керосина. Таким образом, решение данной задачи является важным примером применения закона Архимеда и позволяет более глубоко понять физические процессы, происходящие при погружении твердого тела в жидкость.