Формула Тейлора третьего порядка с остаточным членом Лагранжа

Формула Тейлора - это математическая формула, которая позволяет приближенно вычислять значение функции в точке, используя значения функции и ее производных в некоторой близлежащей точке. Формула Тейлора может быть записана в различных формах, в зависимости от используемых производных и остаточных членов. Одна из таких формул - формула Тейлора третьего порядка с остаточным членом Лагранжа.

Формула Тейлора третьего порядка

Формула Тейлора третьего порядка для функции $f(x)$ в точке $a$ может быть записана следующим образом:

$$ f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3 + R_3(x),$$

где $f'(a), f''(a), f'''(a)$ - первая, вторая и третья производные функции $f(x)$ в точке $a$, а $R_3(x)$ - остаточный член, который может быть вычислен с помощью формулы Лагранжа для остаточного члена.

Остаточный член Лагранжа

Формула Лагранжа для остаточного члена позволяет оценить остаточный член $R_n(x)$, оставшийся после применения формулы Тейлора порядка $n$ для функции $f(x)$ в точке $a$.

$$ R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{(n+1)}, $$

где $c$ - некоторая точка, лежащая между $x$ и $a$.

Для формулы Тейлора третьего порядка с остаточным членом Лагранжа мы можем записать остаточный член следующим образом:

$$ R_3(x) = \frac{f^{(4)}(c)}{4!}(x-a)^4. $$

Пример

Рассмотрим функцию $f(x) = \sin(x)$ и найдем ее разложение в ряд Тейлора третьего порядка в точке $a = 0$ с остаточным членом Лагранжа.

Сначала найдем первые три производных функции $f(x)$ в точке $a = 0$:

$$ f'(x) = \cos(x), \quad f''(x) = -\sin(x), \quad f'''(x) = -\cos(x). $$

Значения этих производных в точке $a = 0$ равны:

$$ f'(0) = 1, \quad f''(0) = 0, \quad f'''(0) = -1. $$

Теперь можем записать разложение функции $f(x) = \sin(x)$ в ряд Тейлора третьего порядка с остаточным членом Лагранжа:

$$ \sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{\sin(c)}{4!}x^4, $$

где $c$ лежит между 0 и $x$.

Заключение

Формула Тейлора сочетает в себе производные функции и их значения в некоторой близлежащей точке, что позволяет приближенно вычислять значение функции в любой точке. Формула Тейлора может быть записана в различных формах, в зависимости от используемых производных и остаточных членов. Формула Тейлора третьего порядка с остаточным членом Лагранжа позволяет получить достаточно точное приближение функции в точке, используя значения ее производных до третьего порядка.