Дано: BD биссектриса ZB; АB=BС (рис. 1.13);

Доказать: AD=DC; ZBDC=90°.

Из дано следует, что треугольник ABC равнобедренный, что значит, что AB = BC. Значит, угол ABC = угол BAC, а мы знаем, что BD - биссектриса угла ABC. Отсюда следует, что угол ABD = угол CBD.

Рассмотрим треугольник ABD. Находим синус угла ABD с помощью синусовой теоремы: sin(ABD) = BD * sin(BAD) / AD, где BAD - половина угла ABC. Также, синус угла CBD: sin(CBD) = BD * sin(BCD) / DC, где BCD - половина угла BCA. Поскольку углы ABD и CBD равны, синусы этих углов также равны: BD * sin(BAD) / AD = BD * sin(BCD) / DC.

Отсюда следует: AD / DC = sin(BCD) / sin(BAD).

Но мы знаем, что AB = BC, поэтому угол BCD равен углу BAC, а угол BAD равен углу ACB. Отсюда можно заключить, что sin(BCD) / sin(BAD) = AC / AB = 1. Следовательно, AD / DC = 1, а значит, AD = DC.

Теперь нужно доказать, что угол ZBDC равен 90 градусам. Рассмотрим треугольник ABD. Мы знаем, что угол ABD = углу DBC. Следовательно, угол ZBD равен 180 градусов минус угол BDC, и это значит, что угол ZBD больше, чем угол ZBC. Но мы также знаем, что угол ZBA равен углу ZBC, так как ZB - биссектриса угла ABC. Следовательно, угол ZBA меньше, чем угол ZBD. Из этих двух неравенств следует, что угол ZBD - угол ZBA > 0, что значит, что угол ZBDC должен быть больше, чем 90 градусов. Но мы уже доказали, что AD = DC, а значит, угол ZBDC не может быть больше 90 градусов и следовательно, он равен 90 градусам.

Таким образом, мы доказали, что AD=DC и угол ZBDC равен 90 градусам, что и требовалось доказать.