Возведение в степень по формуле бинома Ньютона

Формула бинома Ньютона является одним из фундаментальных инструментов в алгебре и позволяет нам возводить выражения в степень. Она основана на биномиальном разложении и позволяет нам раскрыть скобки с большой степенью.

Одним из примеров, на котором мы можем продемонстрировать применение формулы бинома Ньютона, является выражение (2a^2+3b)^3. Наша задача - возвести это выражение в степень.

Давайте применим формулу бинома Ньютона и разложим это выражение.

(2a^2+3b)^3 = C(n, k) * (2a^2)^(n-k) * (3b)^k

где C(n, k) - биномиальный коэффициент, n - степень выражения, а k - показатель степени, увеличивающийся от 0 до n.

Применяя формулу, мы можем получить:

C(3, 0) * (2a^2)^(3-0) * (3b)^0 + C(3, 1) * (2a^2)^(3-1) * (3b)^1 + C(3, 2) * (2a^2)^(3-2) * (3b)^2 + C(3, 3) * (2a^2)^(3-3) * (3b)^3

Раскроем эти выражения:

C(3, 0) = 1 C(3, 1) = 3 C(3, 2) = 3 C(3, 3) = 1

Подставим эти значения в разложенное выражение:

1 * (2a^2)^3 * (3b)^0 + 3 * (2a^2)^2 * (3b)^1 + 3 * (2a^2)^1 * (3b)^2 + 1 * (2a^2)^0 * (3b)^3

Упростим выражение:

8a^6 + 36a^4b + 54a^2b^2 + 27b^3

Таким образом, мы получили итоговое выражение, которое является результатом возведения (2a^2+3b) в степень 3 по формуле бинома Ньютона.

Возведение в степень по формуле бинома Ньютона позволяет нам эффективно раскрывать скобки с большой степенью. Это важный инструмент для работы с алгебраическими выражениями и имеет множество применений в математике и её приложениях.