Помогите решить уравнение: $2\sin^2x+3\cos x-3=0$

Уравнения с тригонометрическими функциями могут быть довольно сложными для решения, особенно если они содержат несколько видов тригонометрических функций. Однако, с помощью некоторых тригонометрических тождеств и методов, мы можем решить это уравнение.

Давайте начнем с того, чтобы переписать уравнение, используя тригонометрические тождества для связи между синусами и косинусами:

$2(1-\cos^2x)+3\cos x-3=0$

Раскроем скобки:

$2-2\cos^2x+3\cos x-3=0$

Теперь приведем подобные слагаемые:

$-2\cos^2x + 3\cos x - 1 = 0$

Чтобы решить это квадратное уравнение относительно $\cos x$, мы можем использовать методы решения квадратных уравнений или факторизацию. Однако, в данном случае проще решить это уравнение, заметив, что $\cos x = 1$ является решением уравнения. Проверим:

$-2(1)^2 + 3(1) - 1 = 0$

$-2 + 3 - 1 = 0$

Следовательно, $\cos x = 1$ является одним из решений.

Теперь мы можем разделить уравнение на $(\cos x - 1)$:

$(-2\cos x + 1)(\cos x - 1) = 0$

В результате получаем два уравнения:

$-2\cos x + 1 = 0$ и $\cos x - 1 = 0$

Решим каждое из них:

$-2\cos x + 1 = 0$

$-2\cos x = -1$

$\cos x = \frac{1}{2}$

Тогда для этого уравнения есть два решения $\cos x = \frac{1}{2}$, которые являются углами особого значения - $\frac{\pi}{3}$ и $\frac{5\pi}{3}$.

$\cos x - 1 = 0$

$\cos x = 1$

В данном случае решением также является особый угол $0$.

Таким образом, решением исходного тригонометрического уравнения $2\sin^2x+3\cos x-3 = 0$ являются углы $0$, $\frac{\pi}{3}$ и $\frac{5\pi}{3}$.