Помогите найти определённый интеграл от нуля до пи/2 выражения

$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{5 + 3\sin x} , dx$$

В данной статье рассмотрим процесс нахождения определенного интеграла от заданного выражения.

Определение и свойства интеграла

Интеграл – это одна из основных операций математического анализа, представляющая собой обратную операцию к дифференцированию. Определенный интеграл вычисляется на заданном интервале и обладает свойствами линейности и аддитивности:

Линейность: $\int (af(x) + bg(x)) , dx = a \int f(x) , dx + b \int g(x) , dx$, где $a$ и $b$ – константы.
Аддитивность: $\int_{a}^{b} f(x) , dx + \int_{b}^{c} f(x) , dx = \int_{a}^{c} f(x) , dx$.

Интегрирование заданного выражения

Для начала произведем замену переменных $t = \tan\left(\frac{x}{2}\right)$, тогда $\sin x = \frac{2t}{1 + t^2}$, а $dx = \frac{2}{1 + t^2} dt$. Подставим эти выражения в исходное уравнение:

$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{5 + 3\sin x} , dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\frac{2t}{1 + t^2}}{5 + 3\left(\frac{2t}{1 + t^2}\right)} \frac{2}{1 + t^2} , dt = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{4t}{(1 + t^2)(5(1 + t^2) + 6t)} , dt$$

Перепишем знаменатель дроби:

$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{4t}{(1 + t^2)(5(1 + t^2) + 6t)} , dt = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{4t}{t^4 + 7t^2 + 6t + 5} , dt.$$

Выражение в знаменателе является квадратным трехчленом, и чтобы упростить интеграл, необходимо разложить его на множители. Произведем разложение на простейшие дроби:

$$\frac{4t}{t^4 + 7t^2 + 6t + 5} = \frac{A}{t + i} + \frac{B}{t - i} + \frac{Ct + D}{t^2 + 6t + 5},$$

где $A$, $B$, $C$ и $D$ – неизвестные коэффициенты. Найдем их с помощью метода неопределенных коэффициентов:

$$4t = A(t - i)(t^2 + 6t + 5) + B(t + i)(t^2 + 6t + 5) + (Ct + D)(t + i)(t - i).$$

Раскроем скобки и сгруппируем подобные слагаемые:

$$4t = (A + B + C)t^3 + (A + B + 6C + D)t^2 + (A + B + 5C)i.$$

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, получим систему уравнений:

\begin{align*} A + B + C &= 0 \quad (1)\ A + B + 6C + D &= 0 \quad (2)\ A + B + 5C &= 4 \quad (3) \end{align*}

Решая систему, получаем:

$$A = B = -2, \quad C = 1, \quad D = -2.$$

Подставим найденные значения в разложение:

$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{4t}{t^4 + 7t^2 + 6t + 5} , dt = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left(\frac{-2}{t + i} + \frac{-2}{t - i} + \frac{t - 2}{t^2 + 6t + 5}\right) , dt.$$

Интегралы от первых двух слагаемых могут быть вычислены просто:

$$\int \frac{-2}{t + i} , dt = -2\ln(t + i) + C_1,$$ $$\int \frac{-2}{t - i} , dt = -2\ln(t - i) + C_2.$$

Для интеграла от третьей дроби необходимо произвести замену $u = t + 3$. Тогда значения интеграла можно найти следующим образом:

$$\int \frac{t - 2}{t^2 + 6t + 5} , dt = \int \frac{u - 5}{u^2 - 4} , du = \frac{1}{2}\ln\left|\frac{u + 2}{u - 2}\right| + C_3.$$

Вернемся к исходному интегралу:

\begin{align*} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{4t}{t^4 + 7t^2 + 6t + 5} , dt &= \left[-2\ln(t + i) - 2\ln(t - i) + \frac{1}{2}\ln\left|\frac{t + 3 + 2}{t + 3 - 2}\right|\right]{0}^{\frac{\pi}{2}} \ &= \left[-2\ln(t + i) - 2\ln(t - i) + \frac{1}{2}\ln\left|\frac{t + 5}{t + 1}\right|\right]{0}^{\frac{\pi}{2}}. \end{align*}

Подставим верхний и нижний пределы интегрирования:

\begin{align*} \left[-2\ln(t + i) - 2\ln(t - i) + \frac{1}{2}\ln\left|\frac{t + 3 + 2}{t + 3 - 2}\right|\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} &= \left[-2\ln\left(\frac{\pi}{2} + i\right) - 2\ln(-i) + \frac{1}{2}\ln\left|\frac{\frac{\pi}{2} + 3 + 2}{\frac{\pi}{2} + 3 - 2}\right|\right] \ &\quad - \left[-2\ln(i) - 2\ln(-i) + \frac{1}{2}\ln\left|\frac{0 + 3 + 2}{0 + 3 - 2}\right|\right]. \end{align*}

Преобразуем каждый из логарифмов с помощью свойств натурального логарифма:

\begin{align*} \ln\left(\frac{\pi}{2} + i\right) &= \ln|\pi + 2i| \ \ln(-i) &= \ln|1| + i \arg(-i) = \ln|1| + i(-\frac{\pi}{2}) = -\frac{\pi}{2}i \ \ln(i) &= \ln|1| + i \arg(i) = \ln|1| + i(\frac{\pi}{2}) = \frac{\pi}{2}i \ \ln\left|\frac{\frac{\pi}{2} + 3 + 2}{\frac{\pi}{2} + 3 - 2}\right| &= \ln\left|\frac{\pi + 10}{\pi + 4}\right| = \ln\frac{\pi + 10}{\pi + 4}, \end{align*}

а также произведем раскрытие логарифма:

\begin{align*} \ln\left|\frac{\pi + 10}{\pi + 4}\right| &= \ln(\pi + 10) - \ln(\pi + 4). \end{align*}

Подставим найденные значения:

\begin{align*} \left[-2\ln(t + i) - 2\ln(t - i) + \frac{1}{2}\ln\left|\frac{t + 3 + 2}{t + 3 - 2}\right|\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} &= -2\ln|(pi + 2i)| - 2\ln(-i)\ +\ &\quad \frac{1}{2}\ln\left(\frac{\pi + 10}{\pi + 4}\right) - (-2\ln(i) - 2\ln(-i) + \frac{1}{2}\ln\left|\frac{0 + 3 + 2}{0 + 3 - 2}\right|) \ &= -2\ln|\pi + 2i| + \pi i + \ln\frac{\pi + 10}{\pi + 4} + 2i\pi + \frac{1}{2}\ln\left|\frac{5}{1}\right| \ &= -2\ln|\pi + 2i| + \pi i + \ln\frac{\pi + 10}{\pi + 4} + 2i\pi + \ln(5) \ &= -2\ln|\pi + 2i| + \ln\frac{\pi + 10}{\pi + 4} + \pi i + 2i\pi + \ln(5) \ &= -2\ln|\pi + 2i| + \ln\frac{\pi + 10}{\pi + 4} + 3\pi i + \ln(5) \ &= -2\ln|\pi + 2i| + \ln\frac{\pi + 10}{\pi + 4} + i(3\pi) + \ln(5) \ &= \ln\frac{\pi + 10}{\pi + 4} + (-2\ln|\pi + 2i| + i(3\pi)) + \ln(5). \end{align*}

Заключение

Таким образом, определенный интеграл от заданного выражения на интервале от 0 до $\frac{\pi}{2}$ равен $\ln\frac{\pi + 10}{\pi + 4} + (-2\ln|\pi + 2i| + i(3\pi)) + \ln(5)$. Данный результат может быть упрощен и с численными значениями констант подставлен в выражение.