Помогите, найти интеграл (4+3x)^4dx

Дано уравнение:

(4+3x)^4dx

Необходимо найти интеграл данного уравнения.

Решение

Для решения данного интеграла мы будем использовать метод подстановки. Для этого нам необходимо заменить переменную u на выражение, которое находится в скобках. Таким образом, мы получаем следующее:

u = 4+3x

Следовательно, dx = du/3

Теперь мы можем подставить это выражение в исходное уравнение:

(4+3x)^4dx = (4+3x)^4(du/3)

Далее, мы можем преобразовать выражение (4+3x)^4 в u^4:

(4+3x)^4 = u^4

Или:

(4+3x)^4 = (4+3x)^2 * (4+3x)^2 = (16 + 24x + 9x^2) * (16 + 24x + 9x^2)

Теперь мы можем заменить (4+3x)^4 на u^4 в исходном уравнении и вынести константу за знак интеграла:

(4+3x)^4dx = 1/3 * ∫(16 + 24x + 9x^2) * (16 + 24x + 9x^2) du

Разрешив данный интеграл, мы получим:

1/3 * ∫(16 + 24x + 9x^2) * (16 + 24x + 9x^2) du = 1/3 * ∫(256 + 768u + 729u^2) du

1/3 * (256u + 384u^2 + 243u^3) + C

Теперь мы можем вернуться к исходной переменной x, заменив u на 4+3x:

1/3 * (256(4+3x) + 384(4+3x)^2 + 243(4+3x)^3) + C

Таким образом, мы нашли интеграл (4+3x)^4dx и получили окончательное выражение.