iRobot СПб

Помогите доказать по геометрии. 8 класс

Задачи по геометрии могут вызвать затруднения не только у учащихся начальных классов, но и у учеников старших классов. Одной из самых сложных задач может быть доказательство геометрической теоремы. Для 8 класса мы рассмотрим несколько примеров доказательства теорем.

Пример 1. Докажите, что средняя линия треугольника параллельна основанию треугольника и равна ему в половину.

Дано: треугольник ABC

Чтобы доказать данную теорему, нужно использовать следующие шаги:

  1. Проведем медиану AM из вершины А до середины стороны ВС. Тогда AM будет равна BM и MC.
  2. Проведем отрезок BC и соединим точку M с точкой D - серединой отрезка BC.
  3. Рассмотрим треугольники AMD и BMD. Они равны по стороне, равной AM, и двум прилежащим углам.
  4. Аналогично, треугольники CMD и BMD равны по стороне, равной MC, и двум прилежащим углам.
  5. Из двух последних утверждений следует, что треугольники CMD и AMD равны, их стороны соответственно равны - MD=MD, AM=CM. Из этого следует, что MD параллельна BC.
  6. Треугольник ABC разбивается на два подобных треугольника - AMC и BMD. Таким образом, мы видим, что AM является средней линией треугольника ABC, и эта линия параллельна основанию, а значит, равна ему в половину.

Пример 2. Докажите, что произведение диагоналей параллелограмма равно сумме квадратов его сторон.

Дано: параллелограмм ABCD

Доказательство данной теоремы выглядит следующим образом:

  1. Проведем медиану ОА параллелограмма ABCD.
  2. Точка О делит медиану АС на две равные части - ОС=SA.
  3. Каждую из сторон AB и BC продлим на своей прямой до пересечения в точке Х. Проведем диагонали AC и BD.
  4. Треугольник ОАС и треугольник ОХА равны по трем сторонам, т.к ОС=SA, АО=АО и ХО=ХО. Значит, они равны и по углам ОАС и ОХА.
  5. Значит, ОХ=CS=ХB, то есть в параллелограмме произведение диагоналей равно ОХ*OD.
  6. Треугольники OХВ и OХС равны, так как их стороны соответственно равны ОХ и ОХ, а два прилегающих угла равны.
  7. Значит, ∠ ХОВ= ∠ ОХС, т.е. ∠ ХОВ равен углу АВС, так как они смежные.
  8. Получаем, что треугольник АВС равен треугольнику ВDC по двум сторонам и углам между ними.
  9. Значит, СД=АВ и ВС=AD.
  10. Из последних двух выражений следует, что СД²+ ВС²=АВ²+ AD²=(AB+BD)²+(AD-DB)².
  11. Но AD=BC, так как это противоположные стороны параллелограмма, а DB=AB, так как это диагонали, а значит, СД²+ ВС²=АВ²+BC², что и требовалось доказать.

Таким образом, доказательство теорем по геометрии в 8 классе может выглядеть достаточно сложным, но если последовательно использовать все свойства и определения, то доказательство может быть успешно проведено.