Отрезок BD диаметр окружности с центром О. Хорда АС делит пополам радиус ОВ и перпендикулярна к нему. Найдите углы четырехугольника ABCD.

На рисунке ниже изображено данное условие:

Дано:

$OD$ - диаметр окружности с центром $O$
$AC$ - хорда, делящая пополам радиус $OB$ и перпендикулярная к нему

Найти:

углы четырехугольника $ABCD$

Решение

Из условия задачи следует, что векторы $\vec{OA}$ и $\vec{OC}$ сонаправлены. Поэтому, мы можем записать:

$$ \vec{OA} = k\vec{OC}, $$

где $k$ - коэффициент пропорциональности.

Также из условия задачи следует, что $OA=OC=OB$, значит все стороны четырехугольника $ABCD$ равны. Тогда $ABCD$ - ромб.

Поскольку $AC$ делит линию $OB$ пополам, то угол $\angle AOC$ равен $90^\circ$. Более того, треугольник $AOC$ равнобедренный, поэтому его углы $\angle ACO$ и $\angle CAO$ равны. Обозначим их за $\alpha$. Тогда

$$ \angle COD = 2\angle AOC = 2\cdot 90^\circ = 180^\circ $$

Таким образом, $CD$ - диаметр окружности с центром $O$. Значит, $\angle CBD = 90^\circ$, а $\angle ABC = 90^\circ + \alpha$. Искомые углы в четырехугольнике $ABCD$ равны:

$$ \begin{aligned} \angle A &= \angle C = \alpha \ \angle B &= 180^\circ - \angle CBD = 90^\circ \ \angle D &= 180^\circ - \angle ABC = 90^\circ - \alpha \ \end{aligned} $$

Ответ: $\angle A = \angle C = \alpha$, $\angle B = 90^\circ$, $\angle D = 90^\circ - \alpha$.