iRobot СПб

Найти закон распределения случайных величин

А) У = 3X

Для нахождения закона распределения случайной величины У = 3X, где X - случайная величина, необходимо знать закон распределения случайной величины X.

Предположим, что X имеет нормальное распределение с параметрами μ (среднее значение) и σ² (дисперсия), то есть X ~ N(μ, σ²).

Для нахождения закона распределения Y = 3X мы можем использовать метод замены переменных.

  1. Определяем функцию f(y), которая будет описывать закон распределения случайной величины Y.
  2. Находим функцию f(x), описывающую распределение X.
  3. Заменяем x на y/3 в функции f(x) и получаем функцию f(y).

Исходя из формулы замены переменных, получаем, что f(y) = f(x) / |d(x)/d(y)|, где d(x)/d(y) - производная функции замены.

Так как Y = 3X, то x = y/3 и d(x)/d(y) = 1/3.

Подставляя значения в формулу, получаем f(y) = f(y/3) / (1/3).

Таким образом, закон распределения случайной величины Y = 3X будет представлен функцией f(y) = 3f(y/3), где f(y/3) - функция распределения случайной величины X.

Б) Z = X^2

Для нахождения закона распределения случайной величины Z = X^2 необходимо знать закон распределения случайной величины X.

Предположим, что X имеет нормальное распределение с параметрами μ (среднее значение) и σ² (дисперсия), то есть X ~ N(μ, σ²).

Для нахождения закона распределения Z = X^2 мы также можем использовать метод замены переменных.

  1. Определяем функцию g(z), которая будет описывать закон распределения случайной величины Z.
  2. Находим функцию f(x), описывающую распределение X.
  3. Заменяем x на √z в функции f(x) и получаем функцию g(z).

Исходя из формулы замены переменных, получаем, что g(z) = f(x) / |d(x)/d(z)|, где d(x)/d(z) - производная функции замены.

Так как Z = X^2, то x = √z и d(x)/d(z) = 1/(2√z).

Подставляя значения в формулу, получаем g(z) = f(√z) / (1/(2√z)).

Таким образом, закон распределения случайной величины Z = X^2 будет представлен функцией g(z) = 2√z * f(√z), где f(√z) - функция распределения случайной величины X.