Найдите решение задачи. Высшая Математика. Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения - это одна из важнейших тем в высшей математике. Они позволяют описывать изменение какого-либо физического или математического процесса. В этой статье мы рассмотрим одну из задач по дифференциальным уравнениям и найдем ее решение.

Предположим, у нас есть следующее дифференциальное уравнение:

$\frac{dy}{dx} + y = x$

Данное уравнение называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка. Наша задача - найти его решение.

Для начала, давайте перепишем уравнение так, чтобы оно было в стандартной форме:

$\frac{dy}{dx} = x - y$

Теперь, мы можем использовать метод разделения переменных, чтобы найти решение данного уравнения. Для этого, мы будем разделять $x$ и $y$ на разные стороны уравнения:

$\frac{dy}{x - y} = dx$

Затем, возьмем интеграл от обеих сторон уравнения:

$\int\frac{dy}{x - y} = \int dx$

Интегрирование левой стороны уравнения может быть немного сложнее. Мы можем воспользоваться методом частных дробей, чтобы интегрировать выражение:

$\int\frac{dy}{x - y} = \int\frac{dy}{(-1)(y - x)}$

$\int\frac{dy}{x - y} = -\int\frac{dy}{y - x}$

$\int\frac{dy}{x - y} = -\int\frac{dy}{-(x - y)}$

$\int\frac{dy}{x - y} = \int\frac{dy}{y - x}$

Теперь мы можем интегрировать обе стороны уравнения:

$ln|x - y| = ln|y - x| + C$

Где C - это произвольная константа интегрирования.

Далее, мы можем применить свойства логарифма, чтобы упростить уравнение:

$ln|x - y| - ln|y - x| = ln\left|\frac{x - y}{y - x}\right| = C$

Мы можем избавиться от логарифма, применив экспоненту к обеим сторонам уравнения:

$\frac{x - y}{y - x} = e^C$

Константу интегрирования, которая обозначается $e^C$, можно заменить на новую константу, назовем ее $k$:

$\frac{x - y}{y - x} = k$

Теперь мы можем преобразовать уравнение, чтобы найти $y$:

$x - y = ky - kx$

$ky - y = kx - x$

$y(k - 1) = x(1 - k)$

$y = \frac{x(1 - k)}{k - 1}$

Таким образом, мы нашли решение задачи по дифференциальным уравнениям. Заметим, что $k$ является произвольной константой. Значения $k = 1$ не допускаются, так как в этом случае знаменатель обращается в нуль.

Итак, решение уравнения $\frac{dy}{dx} + y = x$ - это $y = \frac{x(1 - k)}{k - 1}$, где $k \neq 1$.

Надеюсь, данная статья помогла вам понять, как решать задачу по дифференциальным уравнениям!