Найдите производную функции

Для начала, давайте рассмотрим процесс нахождения производной функции и определим основные правила дифференцирования.

Дифференцирование - это процесс нахождения производной функции, который позволяет нам определить скорость изменения значения функции в данной точке или наклон ее графика. Производная функции говорит нам, как велика изменчивость функции.

Производная функции в точке определяется как предел отношения разности значений функции в окрестности точки к разности аргументов в этой окрестности при стремлении разности аргументов к нулю.

Теперь перейдем к нахождению производных функций:

а) y=2e^x+x^3

Для начала найдем производную каждого слагаемого по отдельности, а затем просто сложим их:

Для слагаемого 2e^x применим правило дифференцирования сложной функции, где f(x) = 2e^x.

Дифференциал функции f(x) = e^x равен f'(x) = e^x, а f'(x) = 2e^x

Для слагаемого x^3 применим правило дифференцирования степенной функции, где f(x) = x^3.

Дифференциал функции f(x) = x^n равен f'(x) = nx^(n-1), а f'(x) = 3x^2.

Теперь сложим полученные производные и получим полную производную функции:

y' = 2e^x + 3x^2

б) y=3^x+sin x

Также найдем производные каждого слагаемого по отдельности, а затем просто сложим их:

Для слагаемого 3^x применим правило дифференцирования степенной функции с основанием больше 1.

Дифференциал функции f(x) = a^x равен f'(x) = ln(a) * a^x, а f'(x) = ln(3) * 3^x.

Для слагаемого sin x применим правило дифференцирования элементарной функции, где f(x) = sin x.

Дифференциал функции f(x) = sin x равен f'(x) = cos x, а f'(x) = cos x.

Теперь сложим полученные производные и получим полную производную функции:

y' = ln(3) * 3^x + cos x

в) y=ln x-8 log_5 x

Для начала найдем производную каждого слагаемого по отдельности, а затем просто вычтем их:

Для слагаемого ln x применим правило дифференцирования логарифма, где f(x) = ln x.

Дифференциал функции f(x) = ln x равен f'(x) = 1/x, а f'(x) = 1/x.

Для слагаемого 8 log_5 x применим правило дифференцирования логарифма по основанию 5.

Дифференциал функции f(x) = log_a x равен f'(x) = 1/(xln a), а f'(x) = 8/(xln 5).

Теперь вычитаем полученные производные и получим полную производную функции:

y' = 1/x - 8/(xln 5) = (ln 5 - 8)/(xln 5).

Вот и все! Мы нашли производные функций а) y=2e^x+x^3, б) y=3^x+sin x и в) y=ln x-8 log_5 x.