Решение интеграла ∫(dx)/(cos(x)^5)

Для решения данного интеграла будем использовать метод замены переменной.

Пусть t = tan(x/2). При такой замене получим следующие соотношения:

dx = 2 dt / (1 + t^2) cos(x) = (1 - t^2) / (1 + t^2)

Подставим эти выражения в исходный интеграл:

∫(dx)/(cos(x)^5) = ∫(2 dt) / [(1 - t^2)^5 / (1 + t^2)^5]

Упростим данное выражение, возводя числитель и знаменатель в 5-ю степень:

∫(2 dt) * (1 + t^2)^5 / (1 - t^2)^5

Теперь проведем дробно-линейную замену переменной, пусть p = t^2. При такой замене получим, что:

dt = dp / (2 sqrt(p)) t^2 = p

Подставим эти выражения в интеграл и упростим его:

∫2(1 + p)^5 / (1 - p)^5 * (dp / (2 sqrt(p)))

Два множителя "2" сокращаются, а также можно использовать алгебраические преобразования для упрощения числителя и знаменателя дроби:

∫(1 + p)^5 / (1 - p)^5 * dp / sqrt(p)

Теперь проведем замену переменной, пусть q = 1 + p. При такой замене получим следующие соотношения:

dp = dq p = q - 1

Подставим эти выражения в интеграл:

∫(q^5) / ((q - 2)^5) * dq / sqrt(q - 1)

Несмотря на то, что интеграл по-прежнему выглядит сложно, мы можем упростить его несколько и привести его к таблице стандартных интегралов.

Для этого мы воспользуемся тем, что интеграл ∫(x^n) / (a^x + b^x) dx = (1/a - 1/b) * ∫(x^n-1) dx (более детальное доказательство этого факта можно найти на математических форумах).

Применим данный факт к нашему интегралу:

∫(q^5) / ((q - 2)^5) * dq / sqrt(q - 1) = (1/2 - 1/1) * ∫(q^4) dq / sqrt(q - 1)

Теперь используем таблицу стандартных интегралов и проинтегрируем выражение:

(1/2 - 1/1) * (1/5) * q^5 / sqrt(q - 1) + C

где C — постоянная интегрирования.

Таким образом, окончательное решение данного интеграла равно:

1/10 * q^5 / sqrt(q - 1) - 1/5 * q^4 / sqrt(q - 1) + C

где q = 1 + p, а p = t^2, и t = tan(x/2).

Подставив обратные замены переменной, получаем окончательное решение интеграла ∫(dx)/(cos(x)^5).