Вопрос жизни и смерти: интеграл $\int \frac{3^{\tan{x}}}{\cos^2{x}}$

Выражение $\frac{3^{\tan{x}}}{\cos^2{x}}$ может показаться сложным, но с помощью интегрирования мы можем найти его интеграл.

Для решения данного интеграла мы воспользуемся методом подстановки. Давайте рассмотрим подстановку $u = \tan{x}$. Тогда, $du = \sec^2{x}dx$.

Заметим, что $\sec^2{x} = 1 + \tan^2{x}$. Тогда $\tan^2{x} = \sec^2{x} - 1$.

Подставляя значение $\tan^2{x}$ выражением $\sec^2{x} - 1$, мы получим:

$\int \frac{3^{\tan{x}}}{\cos^2{x}} dx = \int \frac{3^{u}}{(1 + u^2 - 1)} du$

После редукции, интеграл упрощается:

$\int \frac{3^u}{u^2} du$

Воспользуемся интегралом, который имеет вид:

$\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln{a}} + C$

Применяя эту формулу к нашему интегралу, мы получаем:

$\int \frac{3^u}{u^2} du = \frac{3^u}{\ln{3}} + C$

Наконец, возвращаемся к исходной переменной $x$:

$\frac{3^{\tan{x}}}{\ln{3}} + C$

Таким образом, оригинальный интеграл $\int \frac{3^{\tan{x}}}{\cos^2{x}}$ равен $\frac{3^{\tan{x}}}{\ln{3}} + C$, где $C$ - произвольная постоянная.

Итак, мы успешно решили этот вопрос жизни и смерти, найдя интеграл выражения $\frac{3^{\tan{x}}}{\cos^2{x}}$.